Permutación y combinación: la diferencia explicada con ejemplos de fórmulas

Las permutaciones y combinaciones son muy útiles en muchas aplicaciones, desde la programación de computadoras hasta la teoría de la probabilidad y la genética.

Te voy a presentar estos dos conceptos uno al lado del otro, para que veas lo útiles que son.

La diferencia clave entre estos dos conceptos es el pedido. Con Permutaciones , se centra en listas de elementos en los que su orden es importante.

Por ejemplo, nací en 1977 . Ese es el número 1 seguido del número 9 , seguido del número 7 , seguido del número 7 . En ese orden en particular.

Si cambio el orden a 7917 en su lugar, sería un año completamente diferente. Por tanto, el orden importa .

Con Combinaciones, por otro lado, la atención se centra en grupos de elementos donde el orden no importa.

Como si mi taza de café fuera una combinación de café , azúcar y agua . No importa en qué orden agregue estos ingredientes. También puede haber agua , azúcar y café , sigue siendo la misma taza de café. Por tanto, el orden no importa.

Ahora echemos un vistazo más de cerca a estos conceptos.

Parte 1: Permutaciones

Permutaciones donde se permite la repetición

Imagina que tienes un teléfono nuevo. Cuando empiece a usar este nuevo teléfono, en algún momento se le pedirá que configure una contraseña.

De cerca y personal

La contraseña debe constar de 4 dígitos. Cualesquiera 4 dígitos. Y pueden repetirse.

Para empezar, hay 10 dígitos en total. Esos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Entonces, para el primer dígito de su contraseña, tiene 10 opciones.

Ya que puede usar el mismo dígito nuevamente, ¡el número de opciones para el segundo dígito de nuestra contraseña será 10 nuevamente! Por lo tanto, al elegir dos de los dígitos de la contraseña hasta ahora, las permutaciones son 10 por 10, o 10 x 10 = 100 o 102 .

Lo mismo ocurre con el tercer dígito de su contraseña. Puedes volver a elegir entre las mismas 10 opciones. Esta vez tendrás 10 por 10 por 10 , o 10 x 10 x 10 = 1,000 o 103 permutaciones.

Por último, para el cuarto dígito de la contraseña y los mismos 10 dígitos para elegir, terminamos con 10 por 10 por 10 por 10 , o 10 x 10 x 10 x 10 = 10,000 o 104 permutaciones.

Como probablemente hayas notado, tenías 4 opciones que hacer y multiplicaste 10 cuatro veces (10 x 10 x 10 x 10) para llegar a un número total de permutaciones (10,000). Si tuvieras que elegir 3 dígitos para tu contraseña, multiplicarías 10 tres veces. Si es 7 , lo haría siete veces, y así sucesivamente.

Pero la vida no se trata solo de contraseñas con dígitos para elegir. ¿Qué pasa si tienes una fiesta de cumpleaños y necesitas elegir 5 globos de colores de 20 colores diferentes disponibles?

Dado que tiene 20 colores diferentes para elegir y puede elegir el mismo color nuevamente, para cada globo tiene 20 opciones. El primer globo es 20 , el segundo globo es 20 por 20 , o 20 x 20 = 400 etc. Para el quinto globo obtiene 20 x 20 x 20 x 20 x 20 = 3,200,000 o 205 permutaciones.

Resumamos con la regla general: cuando el orden importa y se permite la repetición, si n es el número de cosas para elegir (globos, dígitos, etc.), y eliges r de ellos (5 globos para la fiesta, 4 dígitos para la contraseña , etc.), el número de permutaciones será igual a P = nr .

Permutaciones donde no se permite la repetición

A continuación, consideremos el caso en el que no se permite la repetición . Como ejemplo, veremos los planetas de nuestro sistema solar.

¿De cuántas formas diferentes puedes organizar estos 8 planetas? Los planetas son: Mercurio , Venus , Tierra , Marte , Júpiter , Saturno , Urano y Neptuno . Después de elegir, digamos, Mercurio, no puede volver a elegirlo. Por lo tanto, debe reducir el número de opciones disponibles cada vez que se elige el planeta.

La primera opción tendrá 8 posibilidades. La segunda opción tendrá 8 menos 1 igual a 7 posibilidades, luego 6 , seguido de 5 , seguido de 4, hasta que nos quede 1 planeta en la lista.

Siguiendo la lógica del escenario anterior, el número total de permutaciones es: P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40,320 .

En otras palabras, este es un producto del número entero 8 y todos los números enteros positivos debajo de él. Este producto se llama Factorial y se indica con un signo de exclamación, así: ¡8!

¡El número de permutaciones es igual a P = 8! o más generalmente P = n!

¿Qué pasa si solo necesita organizar, digamos, 5 de estos 8 planetas en lugar de todos? Entonces solo da los primeros 5 pasos en nuestro método. Es decir, P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6.720 será la cantidad de formas en que puede organizar 5 planetas de 8 .

Pero, ¿por qué detenerse aquí? ¿Por qué no aplicar nuestra lógica para llegar a una fórmula más general? Para que la notación anterior sea fácil de recordar para cualquier número de objetos, usaremos un truco. En una fracción, multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número (excepto cero), no afecta esa fracción. Así:

Número de planetas para elegir n = 8 , elige r = 5 de ellos. ¡Sustituyendo los números en la fórmula anterior nos da P = 8! / (8 - 5)! = 8! / 3! . Igual que 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 .

A partir de aquí, se puede derivar el resultado del ejemplo anterior. Allí, organizó los 8 de los 8 planetas disponibles. Usando la nueva fórmula, ¡ P = 8! / (8 - 8)! = 8! / 0! . Dado que se acuerda que el factorial de cero es igual a 1 , ¡ P = 8! / 1 = 8 !. O más generalmente:

P = n! / (n - n)! = n! / 0! = n! .  

Una notación breve y conveniente que se usa a menudo es: P (n, r) = n! / (n - r)!

Es importante recordar fórmulas. Pero lo que es más importante para resolver problemas de la vida real es saber qué fórmulas usar en cada situación. La práctica ayuda.

Examen sorpresa:

El torneo ha comenzado y seis equipos están compitiendo. El primer lugar obtiene oro y el segundo lugar medallas de plata. ¿De cuántas formas distintas se pueden otorgar medallas a estos equipos?

Elige 1 respuesta


30
360
720
15
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Explicación: tienes 6 equipos para elegir. Entonces n = 6 . El oro y la plata juntos te dan 2 medallas para otorgar. Entonces r = 2 . ¡Sustituir estos números en su fórmula nos da P (6, 2) = 6! / (6 - 2)! = 6! / 4! = 6 x 5 = 30 .

Parte 2. Combinaciones

Combinaciones sin repetición

Para hacer la comparación más vívida, revisemos nuestro ejemplo de selección de planetas. ¿Qué pasa si quieres saber qué planetas se eligen y no su orden de aparición?

Allí tenías 6.720 formas distintas de organizar 5 de los 8 planetas. Pero dado que el orden de aparición ahora no importa, muchas de estas formas son redundantes . Son lo mismo para nosotros.

Un grupo de Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno es el mismo grupo que Marte, Júpiter, Venus, Tierra, Saturno y el grupo de Saturno, Marte, Tierra, Júpiter, Venus. Estas son solo secuencias diferentes de los mismos 5 planetas.

¿Cuántos grupos tienes que son iguales? Si eliges r planetas por grupo, obtienes r! grupos. Para r = 5 , obtienes r! = 5! = 120 grupos.

Por lo tanto, para eliminar los grupos innecesarios que son iguales, ¡divida el número de 6,720 permutaciones originales entre 5! . El resultado es 6720/120 = 56 .

Para generalizar, para llegar al número de Combinaciones , necesita averiguar todas las Permutaciones y dividir por todas las Redundancias .

Usando una notación corta y conveniente: C (n, r) = P (n, r) / r! = n! / (r! (n - r)!)

Y esto supone que el orden no importa y que no hay repeticiones (es decir, solo hay un Júpiter para elegir).

Repasemos el ejemplo del torneo:

El torneo ha comenzado y seis equipos están compitiendo. El primer lugar obtiene oro y el segundo lugar medallas de plata. ¿Cuántos grupos de ganadores de medallas son posibles? El orden de los equipos no importa

Elige 1 respuesta


360
15
30
720
Enviar

Como antes, tienes 6 equipos. Por tanto, n = 6 . Hay dos medallas otorgadas, por lo que r = 2 . Sin embargo, esta vez no importa quién gane el oro y quién gane la plata. El oro y la plata del equipo es lo mismo que la plata y el oro del equipo. ¡Sustituir estos números en su fórmula nos da C (6, 2) = 6! / (2! (6 - 2)!) = 6! / 2! 4! = 15 .

Combinaciones con repetición

Para completar este artículo, hay un caso que requiere especial atención. Hasta ahora, en nuestras combinaciones asumimos que no había repetición. No hay dos elementos iguales.

¿Qué pasaría si podemos tener repeticiones? ¿Qué pasa si, como en nuestro ejemplo anterior, podemos elegir más de un globo del mismo color? Si el número de globos para elegir es n y elegimos r de ellos, permitiendo los mismos colores y sin tener en cuenta el orden de disposición, ¡terminaremos con (n + r - 1)! / (r! (n - 1)!) Combinaciones .

Para terminar, aquí hay una tabla que puede usar para hacer referencia a estos conceptos y sus fórmulas.

Espero que este artículo te haya ayudado a comprender mejor estos dos importantes conceptos matemáticos. Gracias por leer.