A todos nos encantan las computadoras. Pueden hacer tantas cosas asombrosas. En un par de décadas, las computadoras han revolucionado por completo casi todos los aspectos de la vida humana.
Pueden realizar tareas de diversos grados de sofisticación, todo con solo mover ceros y unos. Es notable ver cómo una acción tan simple puede llevar a tanta complejidad.
Pero estoy seguro de que todos saben que tal complejidad no se puede lograr (prácticamente) simplemente cambiando los números al azar. De hecho, hay algún razonamiento detrás de esto. Hay reglas que rigen la forma en que se debe hacer esto. En este artículo discutiremos esas reglas y veremos cómo gobiernan la forma en que las computadoras "piensan".
¿Qué es el álgebra booleana?
Las reglas que mencioné anteriormente están descritas por un campo de las Matemáticas llamado Álgebra de Boole.
En su libro de 1854, el matemático británico George Boole propuso un conjunto sistemático de reglas para la manipulación de los valores de verdad. Estas reglas dieron una base matemática para tratar con proposiciones lógicas. Estos conjuntos de fundamentos llevaron al desarrollo del álgebra booleana.
Para comprender mejor el álgebra booleana, primero debemos comprender las similitudes y diferencias entre el álgebra booleana y otras formas de álgebra.
El álgebra, en general, se ocupa del estudio de los símbolos matemáticos y las operaciones que se pueden realizar con estos símbolos.
Estos símbolos no tienen un significado propio. Representan alguna otra cantidad. Es esta cantidad la que da algún valor a estos símbolos y es esta cantidad sobre la que se realizan realmente las operaciones.
El álgebra booleana también se ocupa de los símbolos y las reglas que gobiernan las operaciones en estos símbolos, pero la diferencia radica en lo que representan estos símbolos .
En el caso del álgebra ordinaria, los símbolos representan los números reales, mientras que en el álgebra booleana representan los valores de verdad.
La siguiente imagen muestra el conjunto completo de números reales. El conjunto de números reales incluye números naturales (1, 2, 3, 4 ....), números enteros (todos los números naturales y 0), números enteros (.....- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...) y así sucesivamente. El álgebra ordinaria se ocupa de todo este conjunto de números.
Los valores de Verdad, en comparación, consisten en un conjunto de solo dos valores: Falso y Verdadero. Aquí, me gustaría señalar el hecho de que podemos usar cualquier otro símbolo para representar estos valores.
Por ejemplo, en Ciencias de la Computación representamos principalmente estos valores usando 0 y 1. Se usa 0 para Falso y 1 para Verdadero.
También puede hacerlo de formas más sofisticadas al representar valores de verdad con algunos otros símbolos, como Gatos y perros o Plátanos y naranjas.
El punto aquí es que el significado interno de estos símbolos seguirá siendo el mismo independientemente del símbolo que utilice. Pero asegúrese de no cambiar los símbolos mientras realiza las operaciones.
Ahora la pregunta es que si (Verdadero y Falso), (0 y 1) son solo las representaciones, entonces ¿qué es lo que están tratando de representar?
El significado subyacente detrás de los valores de verdad proviene del campo de la lógica donde los valores de verdad se utilizan para decir si una proposición es "Verdadera" o "Falsa". Aquí los valores de verdad representan la relación de una proposición con la verdad, es decir, si la proposición es verdadera o falsa.
Una proposición es solo una declaración como "Todos los gatos son lindos".
Si la proposición anterior es verdadera, entonces le asignamos el valor de verdad de "Verdadero" o "1"; de lo contrario, le asignamos "Falso" o "0".
En electrónica digital, los valores de verdad se utilizan para representar los estados "encendido" y "apagado" de los circuitos electrónicos. Discutiremos más sobre eso más adelante en este artículo.
Operaciones booleanas y tablas de verdad
Al igual que el álgebra ordinaria, el álgebra booleana también tiene operaciones que se pueden aplicar a los valores para obtener algunos resultados. Aunque estas operaciones no son similares a las del álgebra ordinaria porque, como discutimos anteriormente, el álgebra booleana funciona con valores de verdad en lugar de números reales.
El álgebra de Boole tiene tres operaciones básicas.
O : también conocido como disyunción . Esta operación se realiza sobre dos variables booleanas. La salida de la operación OR será 0 cuando ambos operandos sean 0; de lo contrario, será 1.
Para tener una idea más clara de lo que hace esta operación, podemos visualizarla con la ayuda de una tabla de verdad a continuación.
Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1Y : también conocido como conjunción . Esta operación se realiza sobre dos variables booleanas. La salida de las operaciones AND será 1 cuando ambos operandos sean 1, de lo contrario será 0. La representación de la tabla de verdad es la siguiente.
AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1NO : también conocido como negación . Esta operación se realiza solo en una variable. Si el valor de la variable es 1, esta operación simplemente lo convierte en 0 y si el valor de la variable es 0, lo convierte en 1.
Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 Álgebra booleana y circuitos digitales
Después de su desarrollo inicial, el Álgebra de Boole, durante mucho tiempo, siguió siendo uno de esos conceptos en Matemáticas que no tenía ninguna aplicación práctica significativa.
En la década de 1930, Claude Shannon, un matemático estadounidense, se dio cuenta de que el álgebra booleana podía usarse en circuitos donde las variables binarias podían representar las señales de voltaje "bajo" y "alto" o estados de "encendido" y "apagado".
Esta simple idea de hacer circuitos con la ayuda del álgebra booleana condujo al desarrollo de la electrónica digital, que contribuyó en gran medida al desarrollo de circuitos para computadoras.
Los circuitos digitales implementan el álgebra booleana con la ayuda de Logic Gates. Las puertas lógicas son los circuitos que representan una operación booleana. Por ejemplo, una puerta OR representará una operación OR. Lo mismo ocurre con las puertas NOT y AND.
Además de las puertas lógicas básicas, también tenemos puertas lógicas que se pueden crear utilizando la combinación de las puertas lógicas básicas.
NAND: NAND gate is formed by a combination of the NOT and AND gates. NAND gate gives an output of 0 if both inputs are 1, otherwise 1.
NAND gate holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NAND gates only.
NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0NOR: NOR gate is formed by a combination of NOT and OR gates. NOR gate gives an output of 1 if both inputs are 0, otherwise 0.
NOR gate, just like NAND gate, holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NOR gates only.
NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0Most digital circuits are built using NAND or NOR gates because of their functional completeness property and also because they are easy to fabricate.
Other than the above mentioned gates we also have some special kind of gates which serve some specific purpose. These are as follows:
XOR: XOR gate or Exclusive-OR gate is a special type of logic gate which gives 0 as output if both of the inputs are either 0 or 1, otherwise it gives 1.
XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0XNOR: XNOR gate or Exclusive-NOR gate is a special type of logic gate which gives 1 as output when both the inputs are either 0 or 1, otherwise it gives 0.
XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1Conclusion
So, with all that we can now conclude our discussion on Boolean Algebra here. I hope by now you have a decent picture of what Boolean Algebra is all about.
This is definitely not all you need to know about Boolean Algebra. Boolean Algebra has a lot of concepts and details that we were not able to discuss in this article.