Cómo construir una intuición para la recursividad

Y cómo usarlo para resolver problemas.

La recursividad es uno de los temas más intimidantes que enfrentan los estudiantes en la programación. Es difícil de entender porque el cerebro humano no es capaz de realizar recursiones, pero las computadoras sí. Esta es exactamente la razón por la que la recursividad es una herramienta tan poderosa para los programadores, pero también significa que aprender a usarla es extremadamente difícil. Quiero ayudarlo a desarrollar una intuición para la recursividad para que pueda usarla para resolver problemas.

Soy asistente de cátedra en el curso de introducción a la informática en mi universidad. He explicado la recursividad exactamente de la misma manera una docena de veces esta semana. Mi explicación parece ayudar a la mayoría de los estudiantes. Este artículo tiene la explicación más general en la parte superior y la explicación más específica en la parte inferior. De esta manera, puede comenzar por el principio y detenerse tan pronto como sienta que comprende la recursividad lo suficientemente bien. He proporcionado algunos ejemplos en Java, y son lo suficientemente simples como para que cualquier persona con algo de experiencia en programación pueda interpretarlos.

¿Qué es la recursividad?

Para comprender la recursividad, retrocedamos un paso de la programación. Comencemos por establecer una definición general del término. Algo es recursivo si está definido por su propia definición hasta cierto punto. Eso probablemente no te ayude a entender mucho la recursividad, así que veamos una definición matemática. Está familiarizado con las funciones: entra un número y sale otro. Se ven así:

f (x) = 2x

Cambiemos ligeramente esta idea y pensemos en una secuencia. Una secuencia toma un número entero y sale un número entero.

A (n) = 2n

Las secuencias se pueden considerar como funciones con entradas y salidas que se limitan solo a números enteros positivos. Generalmente, las secuencias comienzan con 1. Esto significa que A (0) es 1. La secuencia anterior es la siguiente:

A (n) = 1, 2, 4, 6, 8, 10,… donde n = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

Ahora, considere la siguiente secuencia:

A (n) = 2 x A (n-1)

Esta secuencia se define de forma recursiva. En otras palabras, el valor de cualquier elemento dado depende del valor de otro elemento. Esta secuencia se ve así:

A (n) = 1, 2, 4, 8, 16,… donde n = 0, 1, 2, 3, 4,…

Cualquier elemento se define como 2 veces el elemento anterior.

  • El elemento n = 4, 16, se define como 2 veces el elemento anterior.
  • El elemento n = 3, 8, se define como 2 veces el elemento anterior.
  • El elemento n = 2, 4, se define como 2 veces el elemento anterior.
  • El elemento n = 1, 2, se define como 2 veces el elemento anterior.
  • El elemento n = 0, 1, se define como…

El elemento n = 0 no se puede definir de forma recursiva. No hay ningún elemento previo. A esto lo llamamos un caso base y es una consecuencia necesaria de las definiciones recursivas. Deben estar explícitamente representados en su código . Podríamos representar esta secuencia recursiva en Java así:

public int A(int n){ if (n == 0) return 1; return 2 * A(n - 1);}

Debe familiarizarse con la anatomía de un método recursivo. Tenga en cuenta el caso base: si n es 0, el elemento se define como 1. De lo contrario, el elemento se define como 2 veces el elemento anterior. Debemos llamar al método de forma recursiva para obtener el valor del elemento anterior, y luego multiplicarlo por 2. Todos los métodos recursivos tendrán estos dos componentes:

  • Caso base, que devuelve un valor bien definido.
  • Caso recursivo, que devuelve un valor definido de forma recursiva.

Hagamos otro ejemplo, continuando con el contexto de las matemáticas. La secuencia de Fibonacci se usa a menudo para ilustrar la recursividad. Cualquier elemento de la secuencia de Fibonacci es la suma de los dos elementos precedentes. Dice así:

F (n) = 1, 1, 2, 3, 5, 8,… donde n = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

  • El elemento n = 5, 8, se define como la suma del elemento n = 4 y el elemento n = 3 ...

En este punto, debes dudar. En el ejemplo anterior, cada elemento dependía solo de otro elemento, ahora cada elemento depende de otros dos elementos. Esto complica las cosas.

  • El elemento n = 4, 5, se define como la suma del elemento n = 3 y el elemento n = 2.
  • El elemento n = 3, 3, se define como la suma del elemento n = 2 y el elemento n = 1.
  • El elemento n = 2, 2, se define como la suma del elemento n = 1 y el elemento n = 0.
  • El elemento n = 1, 1, se define como la suma del elemento n = 0 y…

El elemento n = 1 no se puede definir de forma recursiva. Tampoco el elemento n = 0. Estos elementos no se pueden definir de forma recursiva porque la definición recursiva requiere dos elementos precedentes. El elemento n = 0 no tiene elementos anteriores y el elemento n = 1 tiene solo un elemento anterior. Esto significa que hay dos casos básicos. Antes de escribir cualquier código, escribiría algo como esto:

El elemento n = 0 se define como 1. El elemento n = 1 se define como 1.

El elemento n se define como la suma del elemento n-1 y el elemento n-2.

Ahora tenemos una idea de cómo esta tarea se define de forma recursiva y podemos seguir adelante y escribir algo de código. Nuncacomience a escribir código sin tener primero una comprensión natural de la tarea.

public int F(int n) if (n == 0 

La pila de llamadas

Como programadores, queremos tener una intuición para la recursividad para poder usarla para hacer cosas. Para hacerlo de manera efectiva, debemos comprender cómo una computadora procesa la recursividad.

Existe una estructura de datos que utiliza la computadora para realizar un seguimiento de las llamadas a métodos denominada pila de llamadas . Cada llamada al método crea variables locales a partir de los parámetros del método. La computadora necesita almacenar estas variables mientras se ejecuta el método. Luego, la computadora abandona los valores cuando el método regresa para evitar desperdiciar memoria.

The call stack (and stacks in general) function as you might imagine some sort of real-life stack would. Imagine a stack of papers on your desk — it starts as nothing, and then you add papers one by one. You don’t know anything about any of the papers in the stack except for the paper on top. The only way you can remove papers from the stack is by taking them off the top, one-by-one, in the opposite order that they were added.

This is essentially how the call stack works, except the items in the stack are activation records instead of papers. Activation records are just little pieces of data that store the method name and parameter values.

Without recursion, the call stack is pretty simple. Here’s an example. If you had some code that looked like this…

public static void main(String[] args) System.out.println(myMethod(1));

…The call stack would look like this:

* myMethod(int a)
* main(String[] args)

Here we see two methods under execution, main and myMethod. The important thing to notice is that main cannot be removed from the stack until myMethod is removed from the stack. In other words, main cannot complete until myMethod is called, executed, and returns a value.

This is true for any case of method composition (a method within a method) — so let’s look at recursive example: the A(int n) method we wrote earlier. Your code might look like this:

public static void main(String[] args) System.out.println(A(4));
public static int A(int n){ if (n == 0) return 1; return 2 * A(n - 1);}

When main is called, A is called. When A is called, it calls itself. So the call stack will start building up like so:

* A(4)* main(String[] args)

A(4) calls A(3).

* A(3)* A(4)* main(String[] args)

Now, it’s important to note that A(4) cannot be removed from the call stack until A(3) is removed from the call stack first. This makes sense, because the value of A(4) depends on the value of A(3). The recursion carries on…

* A(0)* A(1)* A(2)* A(3)* A(4)* main(String[] args)

When A(0) is called, we have reached a base case. This means that the recursion is completed, and instead of making a recursive call, a value is returned. A(0) comes off the stack, and the rest of the calls are then able to come off the stack in succession until A(4) is finally able to return its value to main.

Here’s the intuition: the return value of any method call depends on the return value of another method call. Therefore, all the method calls must be stored in memory until a base case is reached. When the base case is reached, the values start becoming well-defined instead of recursively defined. For example, A(1) is recursively defined until it knows the definition of the base case, 1. Then, it is well-defined as 2 times 1.

When we are trying to solve problems with recursion, it is often more effective to think about the order in which values are returned. This is the opposite of the order in which calls are made. This order is more useful because it consists of well-defined values, instead of recursively defined values.

For this example, it is more useful to consider that A(0) returns 1, and then A(1) returns 2 times 1, and then A(2) returns 2 times A(1), and so on. However, when we are writing our code, it can easier to frame it in the reverse order (the order that the calls are made). This is another reason that I find it helpful to write the base case and the recursive case down before writing any code.

Helper Methods and Recursion vs. Loops

We are programmers, not mathematicians, so recursion is simply a tool. In fact, recursion is a relatively simple tool. It’s very similar to loops in that both loops and recursion induce repetition in the program.

You may have heard that any repetitive task can be done using either a while loop or a for loop. Some tasks lend themselves better to while loops and other tasks lend themselves better to for loops.

The same is true with this new tool, recursion. Any repetitive task can be accomplished with either a loop or recursion, but some tasks lend themselves better to loops and others lend themselves better to recursion.

When we use loops, it is sometimes necessary to make use of a local variable to “keep track” of a calculation. Here’s an example.

public double sum (double[] a){ double sum = 0.0; for (int i = 0; i < a.length; i++) sum += a[i]; return sum;
}

This method takes an array of doubles as a parameter and returns the sum of that array. It uses a local variable, sum, to keep track of the working sum. When the loop is completed, sum will hold the actual sum of all values in the array, and that value is returned. This method actually has two other local variables that are less obvious. There is the double array a, whose scope is the method, and the iterator i (keeps track of the index), whose scope is the for loop.

What if we wanted to accomplish this same task using recursion?

public double recursiveSum(double[] a) # recursively calculate sum

This task is repetitive, so it is possible to do it using recursion, though it is probably more elegantly accomplished using a loop. We just need to create a few local variables to keep track of the working sum and the index, right?

Alas, this is impossible. Local variables only exist in the context of a single method call, and recursion makes use of repeated method calls to accomplish a repetitive task. This means that local variables are pretty much useless when we are using recursion. If you are writing a recursive method and you feel as though you need a local variable, you probably need a helper method.

A helper method is a recursive method that makes use of additional parameters to keep track of values. For recursiveSum, our helper method might look like this:

public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

This method builds the sum by passing the working value to a new method call with the next index. When there are no more values in the array, the working sum is the actual sum.

Now we have two methods. The “starter method,” and the helper method.

public double recursiveSum(double[] a) # recursively calculate sum
public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

The term “helper method” is actually a bit of a misnomer. It turns out that the helper method does all the work, and the other method is just a starter. It simply calls the helper method with the initial values that start the recursion.

public double recursiveSum(double[] a) return recursiveSum(a, 0.0, 0);
public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

Note that the values used in the starter call to the helper method are the same values used to initialize the local variables in the loop example. We initialize the variable used to keep track of the sum to 0.0, and we initialize the variable used to keep track of the index to 0.

Earlier, I said that local variables are useless in the context of recursion. This isn’t completely true, because the method parameters are indeed local variables. They work for recursion because new ones are created every time the method is called. When the recursion is executed, there are many method calls being stored in the call stack, and as a result there are many copies of the local variables.

You might ask, “If the helper method does all the work, why do we even need the starter method? Why don’t we just call the helper method with the initial values, and then you only need to write one method?”

Well, remember that we were trying to replace the method that used a for loop. That method was simple. It took an array as a parameter and returned the sum of the array as a double. If we replaced this method with one that took three parameters, we would have to remember to call it with the proper starting values. If someone else wanted to use your method, it would be impossible if he or she didn’t know the starting values.

For these reasons, it makes sense to add another method that takes care of these starting values for us.

Wrapping up

Recursion is a pretty challenging concept, but you made it all the way to the end of my explanation. I hope you understand the magic a little better. I now officially grant you the title of “Grand-Wizard of Recursion.” Congratulations!