Matemáticas marcianas

Matemáticas marcianas

Vamos a explorar los sistemas numéricos resolviendo uno de mis acertijos favoritos.

Eres el primer explorador en Marte y descubres una ecuación matemática grabada en una roca: 12 + 24 = 40. ¿Cuántos dedos tenían los marcianos?

Me encanta este acertijo porque te hace repensar por completo tu comprensión de los números. También demuestra un problema en la forma en que se enseñan las matemáticas en la escuela: en lugar de enseñar para la comprensión fundamental, se nos enseña cómo aprobar un examen. ¡Por lo tanto, estamos atascados con una comprensión superficial de conceptos simples como los números! Pero basta de predicación, aprendamos algo.

Conceptualmente, los números son solo cantidades, pero la forma en que representamos esas cantidades puede variar. Normalmente representamos números en un sistema numérico de base 10. Lo que eso significa es que el lugar de cada dígito en un número representa una potencia de 10. Es decir, el número 123 representa 1 × 10³ + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰. Sin embargo, es posible usar un sistema numérico que no se base en potencias de 10. Es difícil imaginar vivir en un mundo que usa un sistema numérico que no sea de base 10, pero en realidad, ¡la forma en que los números de representación es completamente arbitraria! Entonces, ¿por qué estamos usando un sistema numérico basado en 10? Lo has adivinado, ¡tenemos 10 dedos!

Aquí hay una pequeña visualización de cómo funciona un sistema numérico basado en 10. Observe que cada vez que se llena una columna, agregamos una más a la siguiente columna.

La belleza de esta forma de ver los números es que el concepto de cantidad se siente natural para todos los sistemas numéricos, no solo para la base 10. Entonces, exploremos algunos otros sistemas numéricos.

Las computadoras representan números usando binario, que es un sistema numérico de base 2. Es el mismo concepto, excepto que en lugar de pasar a la siguiente columna después de que se llenan 9 puntos, se pasa después de solo 1.

Los programadores a menudo representan números usando hexadecimal, que es un sistema numérico de base 16. Lo hacen porque el binario no es muy compacto (se necesitan 4 dígitos binarios solo para representar el número 16) y porque 16 es una potencia de 2, lo que facilita la conversión entre los dos sistemas numéricos.

Como sería extraño que un número como 12 representara solo un dígito cuando lo escribimos, generalmente comenzamos a contar el alfabeto después del 9. Es decir, A representa 10, B representa 11, C representa 12, y así sucesivamente. .

¡Y ahora nuestro acertijo! Primero, vea si no puede resolverlo usted mismo. Si lo desea, puede jugar con la herramienta de visualización usted mismo.

Ya te he dado una gran pista: ¡tenemos un sistema numérico basado en 10 porque tenemos 10 dedos! Entonces, si podemos encontrar un sistema numérico donde esos símbolos representan números que satisfacen la ecuación, entonces hemos resuelto el acertijo.

Hay una forma más directa de encontrar la respuesta, pero usemos nuestro buen amigo "adivina y verifica". Dado que cada marciano en cada referencia de la cultura pop tiene 6 dedos, intentemos eso.

Recordemos la ecuación como referencia: 12 + 24 = 40.

Como puede ver, 8 se representa como 12 en un sistema numérico de base 6. Eso es porque 8 = 1 × ⁶¹ + 2 × ⁶⁰.

Aquí, puede ver que 16 se representa como 23 en un sistema numérico de base 6.

Y finalmente, 24 se representa como 40 en un sistema numérico de base 6. Por lo tanto, si convirtiéramos esta ecuación en un sistema numérico de base 10, tendríamos 8 + 16 = 24. Así que ahí está la respuesta al acertijo: ¡los marcianos tienen 6 dedos!

Es difícil entender esta ecuación porque así es como hemos aprendido a resolver problemas matemáticos mecánicamente. Pero en realidad usamos sistemas numéricos que no son de base 10 todos los días. Apuesto a que esta ecuación tiene sentido para ti: 0:30 + 1:45 = 2:15. El tiempo es un ejemplo perfecto de un sistema numérico que no es de base 10. Y si vive en los EE. UU. Y tiene que usar nuestro terrible sistema de medición, encontrará sistemas de números extraños por todas partes.

Al final del día, lo que espero que haya obtenido de este artículo es una apreciación de la diferencia entre conceptos como cantidades y las representaciones simbólicas que usamos para codificar esos conceptos. Son conceptos sutiles como este los que son mucho más importantes que el ejercicio de memoria de sumar dos números en papel.

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