Conoce a Mason. Es un estadounidense promedio de 40 años: mide 5 pies y 10 pulgadas y gana $ 47,000 por año antes de impuestos.
¿Con qué frecuencia esperaría conocer a alguien que gana 10 veces más que Mason?
Y ahora, ¿con qué frecuencia esperaría conocer a alguien que sea 10 veces más alto que Mason?
Sus respuestas a las dos preguntas anteriores son diferentes, porque la distribución de los datos es diferente. En algunos casos, es común 10 veces por encima del promedio. Mientras que en otros, no es nada común.
Entonces, ¿qué son las distribuciones normales?
Hoy, estamos interesados en distribuciones normales. Están representados por una curva de campana: tienen un pico en el medio que se estrecha hacia cada borde. Muchas cosas siguen esta distribución, como su altura, peso e coeficiente intelectual.
Esta distribución es emocionante porque es simétrica, lo que facilita el trabajo. Puede reducir muchas matemáticas complicadas a unas pocas reglas generales, porque no necesita preocuparse por casos extremos extraños.
Por ejemplo, el pico siempre divide la distribución a la mitad. Hay una masa igual antes y después del pico.
Otra propiedad importante es que no necesitamos mucha información para describir una distribución normal.
De hecho, solo necesitamos dos cosas:
- El significado. La mayoría de la gente simplemente llama a esto "el promedio". Es lo que obtiene si suma el valor de todas sus observaciones, luego divide ese número por el número de observaciones. Por ejemplo, el promedio de estos tres números:
1, 2, 3 = (1 + 2 + 3) / 3 = 2 - Y la desviación estándar. Esto le dice cuán rara sería una observación. La mayoría de las observaciones caen dentro de una desviación estándar de la media. Menos observaciones son dos desviaciones estándar de la media. E incluso menos están a tres desviaciones estándar de distancia (o más).
Juntos, la media y la desviación estándar constituyen todo lo que necesita saber sobre una distribución.
La regla 68-95-99
La regla 68-95-99 se basa en la media y la desviación estándar. Dice:
El 68% de la población está dentro de una desviación estándar de la media.El 95% de la población está dentro de 2 desviaciones estándar de la media.
El 99,7% de la población se encuentra dentro de las 3 desviaciones estándar de la media.
Cómo calcular distribuciones normales
Para continuar con nuestro ejemplo, la altura promedio de los hombres estadounidenses es de 5 pies y 10 pulgadas, con una desviación estándar de 4 pulgadas. Esto significa:
Ahora, la parte divertida: apliquemos lo que acabamos de aprender.
¿Cuál es la probabilidad de ver a alguien con una estatura entre 5 pies 10 pulgadas y 6 pies 2 pulgadas? (Es decir, entre 70 y 74 pulgadas).
¡Es el 34%! Aprovechamos ambas propiedades: la distribución es simétrica, lo que significa que las posibilidades de (66-70) pulgadas y (70-74) pulgadas son 68/2 = 34%.
Probemos con uno más difícil. ¿Cuál es la probabilidad de ver a alguien con una altura entre 62 y 66 pulgadas?
Es (95-68) / 2 = 13,5%. Ambos bordes exteriores tienen el mismo%.
Y ahora tu prueba final (y más difícil): ¿Cuál es la probabilidad de ver a alguien con una altura superior a 82 pulgadas?
Aquí, usamos también la propiedad final: todo debe sumar 100%. Entonces, los bordes exteriores (es decir, las alturas por debajo de 58 y las alturas por encima de 82) juntos hacen (100% - 99,7%) = 0,3%.
Recuerde, puede aplicar esto en cualquier distribución normal. Intente hacer lo mismo con las alturas femeninas: la media es de 65 pulgadas y la desviación estándar es de 3,5 pulgadas.
Entonces, la posibilidad de ver a alguien con una altura entre 65 y 68.5 pulgadas sería: ___.
...
...
34%! Es exactamente igual que nuestro primer ejemplo. Es una desviación estándar de +1.
Conclusión
Conocer esta regla hace que sea muy fácil calibrar sus sentidos. Dado que todo lo que necesitamos para describir cualquier distribución normal es la media y la desviación estándar, ¡esta regla se aplica a todas las distribuciones normales del mundo!
La parte desafiante, de hecho, es averiguar si la distribución es normal o no.
¿Quiere aprender más sobre cómo calibrar sus sentidos y pensar críticamente? Consulte el Teorema de Bayes: un marco para el pensamiento crítico.