Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es una ecuación que grafica una línea. Un sistema de ecuaciones lineales es cuando hay dos o más ecuaciones lineales agrupadas.

Para simplificar la ilustración, consideraremos sistemas de dos ecuaciones. Como sugiere el nombre, hay dos variables desconocidas. A menudo se designan por las letras x e y . Si las ecuaciones describen algún proceso, las letras pueden elegirse según los roles que desempeñan. Por ejemplo, d puede representar la distancia y t el tiempo.

En este artículo aprenderemos cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales usando dos métodos divertidos. Pero antes de comenzar, veamos cómo terminamos con un sistema en particular mirando un ejemplo de la vida real.

Derivando un sistema

Un niño se sube a su bicicleta y comienza a ir a la escuela. Cabalga 200 yardas por minuto.

Seis minutos después, su madre se da cuenta de que su hijo olvidó su almuerzo. Se monta en su propia bicicleta y comienza a seguir al niño. Cabalga 500 yardas cada minuto (es olímpica y medallista de oro).

Queremos averiguar cuánto tiempo le toma a la madre alcanzar al niño y qué tan lejos necesita viajar para hacerlo.

Dado que el niño recorre 200 yardas por minuto, en t minutos cubrirá 200 veces t yardas, o 200t yardas.

Su madre comienza a andar en bicicleta 6 minutos más tarde, por lo que viaja durante (t - 6) minutos. Dado que cubre 500 yardas por minuto, en (t - 6) minutos cubre 500 veces (t - 6) yardas, o 500 (t - 6) yardas.

Para cuando ella lo alcanza, ambos han recorrido la misma distancia. Digamos por ahora que la distancia es d .

Para el niño tenemos   d = 200t y para su madre tenemos d = 500 (t - 6) . Ahora tenemos nuestro sistema de dos ecuaciones.

A menudo se agrega una llave para indicar que las ecuaciones forman un sistema.

Ahora veamos cómo podemos resolver este sistema.

Resolver por sustitución

El primer método que consideraremos utiliza la sustitución .

Tenemos dos incógnitas aquí, d y t . La idea es deshacerse de una variable expresándola usando la otra variable.

La ecuación superior nos dice que d = 200t , así que sustituyamos 200t por la d en la ecuación inferior. Como resultado, tenemos una ecuación con solo la variable t .

Primero expandimos el lado derecho: 500 (t -6) = 500t - 500 * 6 = 500t - 3000 .

Luego simplificamos moviendo los miembros desconocidos a un lado y los miembros conocidos al otro. El resultado es: 500t - 200t = 3000 .

Resolver para t nos da t = 10 , o como medimos el tiempo en minutos, t = 10 minutos . En otras palabras, la madre alcanzará a su hijo en 10 minutos.

La segunda parte de nuestro problema es averiguar qué tan lejos tuvo que pedalear para alcanzarlo.

Para responder a esa pregunta, necesitamos encontrar d . Sustituir t = 10 en cualquier ecuación nos dará esa respuesta.

Para hacerlo más fácil, usemos la ecuación superior, d = 200t = 200 * 10 = 2000 . Como medimos la distancia en yardas, d = 2000 yardas .

Probemos su comprensión hasta ahora; intente resolver el siguiente sistema por su cuenta:

{

y = 2x

y = 3 (x - 1)

Elige 1 respuesta


x = 3 y y = 6
x = 1 y y = 2
x = 6 y y = 3
x = 1/2 y y = 2/3
Enviar

En el sistema anterior, las variables desconocidas son x e y .

De la ecuación superior sabemos que y = 2x . Sustituyendo eso en la ecuación inferior, obtenemos 2 (2x) = 3 (x + 1) .

Una vez que expandimos y simplificamos, obtenemos 4x = 3x + 3 . O x = 3 . Por lo tanto, y = 2 * 3 = 6 .

Resolviendo graficando

El segundo método que consideraremos utiliza gráficos ,donde encontramos la solución a un sistema de ecuaciones graficándolas.

Por ejemplo, tome este sistema: y = 2x + 3 e y = 9 - x .

Una gráfica de cada ecuación será una línea. El primero para y = 2x + 3 se ve así:  

A continuación, podemos graficar una línea para y = 9 - x :  

Estas dos líneas se cruzan exactamente en un punto. Este punto es la única solución para ambas ecuaciones:

El par ordenado (2, 7) nos da las coordenadas de nuestro punto de intersección. Este par es la solución al sistema. Sustituir x = 2 e y = 7 nos permitirá verificar esto.

¿Qué pasa si las gráficas son paralelas y no se cruzan en absoluto? Por ejemplo:

Cuando las gráficas de las ecuaciones no se cruzan, eso significa que nuestro sistema no tiene solución. Intentar resolver por sustitución lo demostrará.

El resultado de x - 1 = x - 3 será 0 = -2 , que siempre es falso .

Pero, ¿qué pasa si dos gráficos son iguales y están directamente uno encima del otro?

En tales casos, hay un número infinito de puntos de intersección. Eso significa que nuestro sistema tiene un número infinito de soluciones. Usar el método de sustitución lo demostrará.

El resultado de x - 2 = x - 2 es 0 = 0 , que siempre es cierto .

Más práctica

Intente usar los métodos de sustitución y de graficación para resolver los siguientes sistemas. Estos métodos se complementan entre sí y le ayudarán a solidificar sus conocimientos.

{

y = 2

3 años - 2x = 4

Elige 1 respuesta


El sistema no tiene solución
x = 1/2 y y = 1
x = 1 y y = 2
x = 0 y y = 2
Enviar

La elección de una variable en particular para utilizarla en sustitución debería facilitar la búsqueda de una solución.

Intente expresar x con otros dos miembros en la ecuación superior, luego sustituya el resultado en la ecuación inferior. De esa forma evitarás lidiar con fracciones.

{

x + 5y = 7

3x - 2y = 4

Elige 1 respuesta


x = 5 y y = 5/2
x = 1 y y = 2
x = 1 y y = 1
x = 2 y y = 1
Enviar

Hagamos un desafío más:

{

-6x - 8y = 4

y = -x - 1

Elige 1 respuesta


x = -2 y y = 1
Número infinito de soluciones
x = 2 y y = -1
x = -1/6 y y = 6
Enviar

Ahora que sabe lo suficiente sobre sustitución y gráficas, salga y resuelva más ecuaciones lineales.