Estructura de datos de árbol de búsqueda binaria explicada con ejemplos

Un árbol es una estructura de datos compuesta por nodos que tiene las siguientes características:

  1. Cada árbol tiene un nodo raíz (en la parte superior) que tiene algún valor.
  2. El nodo raíz tiene cero o más nodos secundarios.
  3. Cada nodo secundario tiene cero o más nodos secundarios, y así sucesivamente. Esto crea un subárbol en el árbol. Cada nodo tiene su propio subárbol compuesto por sus hijos y sus hijos, etc. Esto significa que cada nodo por sí solo puede ser un árbol.

Un árbol de búsqueda binaria (BST) agrega estas dos características:

  1. Cada nodo tiene un máximo de hasta dos hijos.
  2. Para cada nodo, los valores de sus nodos descendientes izquierdos son menores que los del nodo actual, que a su vez es menor que los nodos descendientes derechos (si los hay).

El BST se basa en la idea del algoritmo de búsqueda binaria, que permite una rápida búsqueda, inserción y eliminación de nodos. La forma en que se configuran significa que, en promedio, cada comparación permite que las operaciones salten aproximadamente la mitad del árbol, de modo que cada búsqueda, inserción o eliminación lleva un tiempo proporcional al logaritmo del número de elementos almacenados en el árbol. O(log n).

Sin embargo, algunas veces puede suceder el peor de los casos, cuando el árbol no está equilibrado y la complejidad del tiempo es O(n)para las tres funciones. Es por eso que los árboles autoequilibrados (AVL, rojo-negro, etc.) son mucho más efectivos que el BST básico.

Ejemplo del peor de los casos: esto puede suceder cuando sigue agregando nodos que siempre sonmás grandes que el nodo anterior (es el principal), lo mismo puede suceder cuando siempre agrega nodos con valores más bajos que sus padres.

Operaciones básicas en un BST

  • Crear: crea un árbol vacío.
  • Insertar: inserta un nodo en el árbol.
  • Buscar: busca un nodo en el árbol.
  • Eliminar: elimina un nodo del árbol.

Crear

Inicialmente se crea un árbol vacío sin nodos. La variable / identificador que debe apuntar al nodo raíz se inicializa con un NULLvalor.

Buscar

Siempre comienzas a buscar en el árbol en el nodo raíz y bajas desde allí. Compara los datos de cada nodo con el que está buscando. Si el nodo comparado no coincide, proceda al hijo derecho o al hijo izquierdo, lo que depende del resultado de la siguiente comparación: Si el nodo que está buscando es más bajo que el que lo estaba comparando, se pasa al niño de la izquierda, de lo contrario (si es más grande) se pasa al niño de la derecha. ¿Por qué? Debido a que el BST está estructurado (según su definición), el hijo derecho siempre es más grande que el padre y el hijo izquierdo siempre es menor.

Insertar

Es muy similar a la función de búsqueda. De nuevo comienzas en la raíz del árbol y bajas de forma recursiva, buscando el lugar adecuado para insertar nuestro nuevo nodo, de la misma forma que se explica en la función de búsqueda. Si un nodo con el mismo valor ya está en el árbol, puede elegir insertar el duplicado o no. Algunos árboles permiten duplicados, otros no. Depende de la implementación determinada.

Eliminar

Hay 3 casos que pueden ocurrir cuando intenta eliminar un nodo. Si tiene

  1. Sin subárbol (sin hijos): este es el más fácil. Simplemente puede eliminar el nodo, sin necesidad de realizar acciones adicionales.
  2. Un subárbol (un hijo): debe asegurarse de que después de eliminar el nodo, su hijo se conecte al padre del nodo eliminado.
  3. Dos subárboles (dos hijos): debe buscar y reemplazar el nodo que desea eliminar con su sucesor (el nodo más alejado en el subárbol derecho).

La complejidad del tiempo para crear un árbol es O(1). La complejidad del tiempo para buscar, insertar o eliminar un nodo depende de la altura del árbol h, por lo que el peor de los casos es O(h).

Predecesor de un nodo

Los predecesores pueden describirse como el nodo que vendría justo antes del nodo en el que se encuentra actualmente. Para encontrar el predecesor del nodo actual, mire el nodo hoja más a la derecha / más grande en el subárbol izquierdo.

Sucesor de un nodo

Los sucesores pueden describirse como el nodo que vendría inmediatamente después del nodo en el que se encuentra actualmente. Para encontrar el sucesor del nodo actual, mire el nodo hoja más a la izquierda / más pequeño en el subárbol derecho.

Tipos especiales de BT

  • Montón
  • Árbol rojo-negro
  • Árbol B
  • Árbol de extensión
  • Árbol n-ario
  • Trie (árbol Radix)

Tiempo de ejecución

Estructura de datos: matriz

  • Rendimiento en el peor de los casos: O(log n)
  • Rendimiento en el mejor de los casos: O(1)
  • Rendimiento medio: O(log n)
  • Complejidad de espacio en el peor de los casos: O(1)

¿Dónde nestá el número de nodos en la BST?

Implementación de BST

Aquí hay una definición para un nodo BST que tiene algunos datos, haciendo referencia a sus nodos secundarios izquierdo y derecho.

struct node { int data; struct node *leftChild; struct node *rightChild; };

Operación de búsqueda

Siempre que se deba buscar un elemento, comience a buscar desde el nodo raíz. Luego, si los datos son menores que el valor de la clave, busque el elemento en el subárbol izquierdo. De lo contrario, busque el elemento en el subárbol derecho. Siga el mismo algoritmo para cada nodo.

struct node* search(int data){ struct node *current = root; printf("Visiting elements: "); while(current->data != data){ if(current != NULL) { printf("%d ",current->data); //go to left tree if(current->data > data){ current = current->leftChild; }//else go to right tree else { current = current->rightChild; } //not found if(current == NULL){ return NULL; } } } return current; }

Insertar operación

Whenever an element is to be inserted, first locate its proper location. Start searching from the root node, then if the data is less than the key value, search for the empty location in the left subtree and insert the data. Otherwise, search for the empty location in the right subtree and insert the data.

void insert(int data) { struct node *tempNode = (struct node*) malloc(sizeof(struct node)); struct node *current; struct node *parent; tempNode->data = data; tempNode->leftChild = NULL; tempNode->rightChild = NULL; //if tree is empty if(root == NULL) { root = tempNode; } else { current = root; parent = NULL; while(1) { parent = current; //go to left of the tree if(data data) { current = current->leftChild; //insert to the left if(current == NULL) { parent->leftChild = tempNode; return; } }//go to right of the tree else { current = current->rightChild; //insert to the right if(current == NULL) { parent->rightChild = tempNode; return; } } } } } 

Binary search trees (BSTs) also give us quick access to predecessors and successors. Predecessors can be described as the node that would come right before the node you are currently at.

  • To find the predecessor of the current node, look at the rightmost/largest leaf node in the left subtree. Successors can be described as the node that would come right after the node you are currently at.
  • To find the successor of the current node, look at the leftmost/smallest leaf node in the right subtree.

Let’s look at a couple of procedures operating on trees.

Since trees are recursively defined, it’s very common to write routines that operate on trees that are themselves recursive.

So for instance, if we want to calculate the height of a tree, that is the height of a root node, We can go ahead and recursively do that, going through the tree. So we can say:

  • For instance, if we have a nil tree, then its height is a 0.
  • Otherwise, We’re 1 plus the maximum of the left child tree and the right child tree.

So if we look at a leaf for example, that height would be 1 because the height of the left child is nil, is 0, and the height of the nil right child is also 0. So the max of that is 0, then 1 plus 0.

Height(tree) algorithm

if tree = nil: return 0 return 1 + Max(Height(tree.left),Height(tree.right))

Here is the code in C++

int maxDepth(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else { int rDepth = maxDepth(node->right); int lDepth = maxDepth(node->left); if (lDepth > rDepth) { return(lDepth+1); } else { return(rDepth+1); } } } 

We could also look at calculating the size of a tree that is the number of nodes.

  • Again, if we have a nil tree, we have zero nodes.

Otherwise, we have the number of nodes in the left child plus 1 for ourselves plus the number of nodes in the right child. So 1 plus the size of the left tree plus the size of the right tree.

Size(tree) algorithm

if tree = nil return 0 return 1 + Size(tree.left) + Size(tree.right)

Here is the code in C++

int treeSize(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else return 1+(treeSize(node->left) + treeSize(node->right)); }

Relevant videos on freeCodeCamp YouTube channel

  • Binary Search Tree
  • Binary Search Tree: Traversal and Height

Following are common types of Binary Trees:

Full Binary Tree/Strict Binary Tree: A Binary Tree is full or strict if every node has exactly 0 or 2 children.

 18 / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40

In Full Binary Tree, number of leaf nodes is equal to number of internal nodes plus one.

Complete Binary Tree: A Binary Tree is complete Binary Tree if all levels are completely filled except possibly the last level and the last level has all keys as left as possible

 18 / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40 / \ / 8 7 9