Regla de Simpson: la fórmula y cómo funciona

La regla de Simpson es un método de integración numérica. En otras palabras, es la aproximación numérica de integrales definidas.

La regla de Simpson es la siguiente:

En eso,

• f(x)se llama integrando
• a = límite inferior de integración
• b = límite superior de integración

Regla 1/3 de Simpson

Como se muestra en el diagrama anterior, el integrando f(x)se aproxima mediante un polinomio de segundo orden; el ser interpolante cuadrático P(x).

La aproximación sigue,

Reemplazando (b-a)/2como hobtenemos,

Como puede ver, hay un factor de 1/3en la expresión anterior. Por eso, se llama Regla 1/3 de Simpson .

Si una función es muy oscilatoria o carece de derivadas en ciertos puntos, es posible que la regla anterior no produzca resultados precisos.

Una forma común de manejar esto es utilizando el enfoque de la regla de Simpson compuesta . Para hacer esto, divídalo [a,b]en pequeños subintervalos, luego aplique la regla de Simpson a cada subintervalo. Luego, sume los resultados de cada cálculo para producir una aproximación sobre la integral completa.

Si el intervalo [a,b]se divide en nsubintervalos y nes un número par, la regla de Simpson compuesta se calcula con la siguiente fórmula:

donde x _j = a + jh para j = 0,1,…, n-1, n con h = (ba) / n ; En particular, x ₀ = a y x _n = b .

Ejemplo en C ++:

Para aproximar el valor de la integral dada a continuación, donde n = 8:

#include #include using namespace std; float f(float x) { return x*sin(x); //Define the function f(x) } float simpson(float a, float b, int n) { float h, x[n+1], sum = 0; int j; h = (b-a)/n; x[0] = a; for(j=1; j<=n; j++) { x[j] = a + h*j; } for(j=1; j<=n/2; j++) { sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]); } return sum*h/3; } int main() { float a,b,n; a = 1; //Enter lower limit a b = 4; //Enter upper limit b n = 8; //Enter step-length n if (n%2 == 0) cout<
    

Simpson's 3/8 Rule

Simpson's 3/8 rule is similar to Simpson's 1/3 rule, the only difference being that, for the 3/8 rule, the interpolant is a cubic polynomial. Though the 3/8 rule uses one more function value, it is about twice as accurate as the 1/3 rule.

Simpson’s 3/8 rule states :

Replacing (b-a)/3 as h, we get,

Simpson’s 3/8 rule for n intervals (n should be a multiple of 3):

where x_j = a+jh for j = 0,1,…,n-1,n with h=(b-a)/n; in particular, x₀ = a and x_n = b.